两圆相减后所得的直线方程的几何意义

2222xyDxEyF0xyD2xE2yF20 111方程与

两圆相减后所得的直线方程的几何意义

22OxyD1xE1yF10和 1在平常的学习中知道，如果把两相交圆 ⊙

22xyD2xE2yF20的方程相减所得到的 O2⊙：

直线l：D1D2xE1E2yF1F20表示两圆公共弦所在直线方程。

但很多同学在用这个结论时没注意到前提条件必须是两圆相交。如果两圆不相交，两圆相减照样可以得到直线l，但l的几何意义就改变了。因而有必要就两圆的5种位置关系进行讨论直线l的几何意义。我就两圆的5种位置关系进行研究。

一．两圆相交

22设P1x1,y1、P2x2,y2是两圆的交点，则有x1y1D1x1E1y1F10和

2x2y22D1x2E1y2F10成立，

即P1x1,y1、P2x2,y2满足方程

(x2y2D2xE2yF2)(x2y2D1xE1yF1)0

即D1D2xE1E2yF1F20。所以直线l表示两圆相交弦所在直线。

二．两圆相切（内切或外切）

当把两相交的圆逐渐往两侧移动时，两交点逐渐靠近，最终重合为一点，此时两圆外切，同时与两圆相交的直线l也就与两圆只有一个公共点，直线l成为两外切圆的过同一切点的公切线。因此，直线l：D1D2xE1E2yF1F20表示两外切圆的过同一切点的公切线。当把两相交的圆逐渐往中间移动时，两交点逐渐靠近，最终重合为一点，此时两圆内切，同时，与两圆相交的直线l也就与两圆只有一个公共点，直线l成为两内切圆的过同一切点的公切线。因此，直线l：D1D2xE1E2yF1F20

表示两内切圆的公切线。

222xayaxbybOO12例如，圆：与圆：相切于原点，那么两圆相减

222得：x0，该直线与两圆相切于原点。下面就两圆外切情况加以证明。

22D12E124F1D2E24F22rr244设圆O1，圆O2的半径分别为r1,r2，则，。由两圆外

21切得：

D1D2E1E2r1r22222，化简得： 4r1r2D1D2E1E22F1F2即：

2222222D1E14F1D2E4FDED1D2E1E22222r22112r122F1F1F22r1r2r144222又，，即：2，

D2E2222r222F222。利用直线Ax+By+C=0分线段Ax1,y1Bx2,y2的比为

Ax1By1CAx2By2C，那么直线l分

O1O2的比为

22D2E2D1D2EEF1F21222

DED1D21E1E21F1F2

D12E12D1D2E1E2F1F22r122F1F1F22r1r2F1F2222222D2E2D1D2E1E22r222F2F1F22r1r2F1F2F1F22222=

r1kk1=r2。又O1O2l，所以O1O2⊥l（当直线O1O2与直线l的斜率不存在时也成立）；

且O1O2r1r2，所以点O1到直线l的距离为r1，点O2到直线l的距离为r2。所以直线l与两圆相切。

三．两圆相离

22xyDxEyF的含义。因为圆的方程有两种表示，即 这里首先得了解式子

x2y2DxEyFxx0yyr20。当点P（x，y）在圆外时，式子

22x2y2DxEyFxx02yy02r2表示点P到圆的切线长。因而，对直线方

(x2y2D1xE1yF1)0程

(x2y2D2xE2yF2)可以变形为：

x2y2D2xE2yF2x2y2D1xE1yF1，即点P到两圆的切线长相等。因此，直线

l的几何意义是：到两相离圆的切线长相等的点的集合。更进一步，如果两圆的半径相等，直线l就是两圆的对称轴。

四．两圆内含

同“三”易知，直线l上的点到两圆的切线长相等。（注：以上两圆非同心圆）

五．范例

22xy1外切于点O，且两圆的过点O的公切线为yxb，OO21例：已知圆与圆：

已知圆O1的圆心落在直线上xy4，求圆O1的方程。

2222xy1xy20xyxy210，Ob21解：易得。设圆：，即：

,圆心坐标22落在直线xy4，解得4。所以圆O1的方程为x2y24x4y4210。

最后，利用《几何画版》动画演示圆O1，圆O2，直线l的位置关系。