高中数学新课程创新教学设计案例指数函数
教材分析
指数函数是基本初等函数之一，在数学中占有重要地位，在实际中有着十分广泛的应用，如细胞、考古中所用的14C的衰减、放射性物质的剩留量等都与指数函数有关．有理指数幂及其运算是学习指数函数的基础．
教材首先通过实例引入什么是指数函数．然后给出三个具体例子y＝2x，y＝10x，y＝（
）x，用描点法画其图像，并借助图像，观察得出指数函数的定义域、值域、图像过定
点（1，0）及单调性．最后配备恰当的习题及练习．在知识的形成过程中，表达图像观察、归纳猜想的思想．这节内容的重点是指数函数的图像与性质，难点是应用指数函数的性质解决有关问题．
教学目标
1. 熟悉指数函数模型的实际背景．
2. 懂得并掌握指数函数的定义、图像及性质．
3. 通过对指数函数的概念、性质的归纳、抽象与概括，体验数学知识的产生与形成的过程，培养学生的抽象概括能力．
4. 在解决简单实际问题的过程中，体会指数函数是一类重要的数学模型，培养学生的应用意识．
任务分析
学生在学习本节内容时，已学过了一些基本函数，如二次函数，同时学过有理指数幂及其运算，这均为学生学习这节内容奠定了基础．由应用问题建立指数函数模型是个难点，为此一定要使学生懂得问题的意义，继而由少到多、由浅入深逐步建立起两个变量间的关系．要重视列表、画图像的过程，这样才有利于观察、归纳出指数函数的性质．要充分显示出知识的形成过程．
教学设计
一、问题情境
某种细胞时，由1个成2个，2个成4个，4个成8个……假如1个这样的细胞x次后，得到细胞的个数为ｙ，试求y关于x的函数关系式．
先由学生解答，然后教师明晰细胞的规律是：每次每个细胞为2个． 当x＝0时，y＝1＝20； 当x＝1时，y＝20×2＝21； 当x＝2时，y＝21×2＝22； 当x＝3时，y＝22×2＝23； ……
归纳：x次，得到细胞的个数y＝2x，其中x∈N． 二、建立模型 1. 学生讨论
上面得到的函数y＝2x有何特点？ （底数为常数，自变量在指数的位置上） 2. 教师明晰
通常地，函数y＝ax，（a＞0且a≠1，x∈R）叫作指数函数． 思考：为什么要a＞0且a≠1？
（理由：当a＝0，x≤0时，ax无意义；当a＜0时，如y＝（－2）无意义；当a＝1时，y＝1x＝1是常数函数．没有研究的必要．）
3. 练 习
在同一坐标系内，画出下面三个指数函数的图像．
（1）y＝2x． （2）y＝10x． （3）y＝（解：列表：
）x．
描点，画图：
4. 观察上面的函数的图像，结合列表，归纳总结出指数函数y＝ax的性质 （1）定义域是（－∞，＋∞），值域是（0，＋∞）． （2）函数图像在x轴的上方且都过定点（0，1）．
（3）当a＞1时，函数在定义域上是增函数，且当x＞0时，y＞1；当x＜0时，0＜y＜1．
当0＜a＜1时，函数在定义域上是减函数，且当x＞0时，0＜y＜1；当x＜0时，y＞1． 5. 提出问题，组织学生讨论
（1）函数y＝2x与y＝x2的图像有何关系？试对你的结论加以证明． （2）试举一个在生活、生产、科技等实际中与指数函数有关的例子． 三、解释应用 ［例 题］
1. 利用指数函数的性质，比较下列各题中两个值的大小：
（1）1.72.5与1.73． （2）0.8-0.1与0.8-0.2． 解：（1）考查指数函数y＝1.7x．
∵1.7＞1，∴y＝1.7x在（－∞，＋∞）是增函数． 又2.5＜3，∴1.72.5＜1.73．
（2）类似（1），得0.8-0.1＜0.8-0.2． 思考：如何比较1.70.3与0.93.1的大小？
2. 某种放射性物质不断衰变为其他物质，每通过1年剩留的这种物质是原先的84%．画出这种物质的剩留量随时间变化的图像，并根据图像求出通过多少年，剩留量是原先的一半．（结果保留1个有效数字）
解：设这种物质最初的质量是1，通过x年，剩留量是y，则 通过1年，剩留量y＝1×84%＝0.841； 通过2年，剩留量y＝0.84×0.84＝0.842； ……
通过x年，剩留量y＝0.84x． 列表： 表11-3
x 0 y 1 1 0.84 2 0.71 3 0.59 4 0.50 5 0.42 画出指数函数y＝0.84x的图像：
由图上看出y＝0.5时，x≈4．
答：约通过4年，剩留量是原先的一半．
说明：为便于观察，两轴上的单位长度可不相等．
3. 说明下列函数的图像与指数函数y＝2x的图像的关系，并画出它们的草图． （1）y＝2x1． （2）y＝2x2． 解：（1）比较函数y＝2x∴函数y＝2x
＋1
＋1
＋
－
与y＝2x的关系，知y＝2-1+1与y＝x0相等．
中的x＝－1时的y值，与函数y＝2x中的x＝0时的y值相等．
又y＝20+1与y＝x1相等； y＝23+1与y＝x4相等； ……
∴将指数函数y＝2x的图像向左平行移动1个单位长度，即可得到函数y＝2x
＋1
的图像．
（2）将指数函数y＝2x的图像向右平行移动2个单位长度，即可得到函数y＝2x-2的图像．
［练 习］ 1. 比较大小：
（1）1.01-2与1.01-3.5． （2）0.75-0.1与0.750.1． 2. 画出下列函数的图像．
（1）y＝3x． （2）y＝（3. 求下列函数的定义域．
）x．
（１）y＝． （2）y＝．
4. 已知函数f（x）＝ax在［0，1］上的最大值与最小值之与为3，求a的值．
5. 用清水漂洗衣服，若每次能洗去污垢的，试写出存留污垢y与漂洗次数x的函数关系式．假如要使存留的污垢不超过原有的1%，那么至少要漂洗几次？
四、拓展延伸
1. 在例题2中，函数y＝0.84x与函数y＝0.5的图像的交点横坐标是方程0.84x＝0.5的解吗？
思考：你能推断出方程2x＋x2－2＝0有几个实数根吗？ 2. 下列是某地区不一致身高的未成年男性的体重平均值表： 表11-4
身高／cm 体重／kg 身高／cm 体重／kg 60 6.13 120 20.92 70 7.90 130 26.86 80 9.99 140 31.11 90 12.15 150 38.85 100 15.02 160 47.25 110 17.50 170 55.05 （1）根据表中提供的数据，能否从我们已经学过的函数y＝ax＋b，y＝ax2＋bx＋c，y＝，y＝a·bx中选择一种函数使它比较近似地反映出该地区未成年男性体重y关于身高x的函数关系？若能，求出这个函数解析式．
（2）假如体重超过相同身高男性平均值的1.2倍为偏胖，低于0.8倍为偏瘦，那么该地区某中学一男生身高为175cm，体重为78kg，问：他的体重是否正常？
解：（1）以身高为横坐标，体重为纵坐标，在直角坐标系中画出散点图如下．根据图，可考虑用函数y＝abx，反映上述数据之间的对应关系．
把x＝70，y＝7.90与x＝160，y＝47.25两组数据代入y＝a·bx，得
利用计算器计算，得a＝2，b＝1.02．
因此，该地区未成年男性体重关于身高的近似函数式可选为y＝2×1.02x．
将已知数据代入所得的函数解析式或者作出所得函数的图像，可知所求函数能较好地反映该地区未成年男性体重与身高的关系．
（2）把x＝175代入y＝2×1.02x，得 y＝2×1.02175．
利用计算器计算，得y＝63.98． 由于78÷63.98≈1.22＞1.2， 因此，这名男生体型偏胖．
点 评
这节课的中心问题有三个，即指数函数的定义、图像与性质，围绕这三个问题，这篇案例进行了精心设计：首先通过实例引入了指数函数的概念，再通过画具体的指数函数的图像归纳出通常指数函数的性质．这样安排有利于学生懂得指数函数的概念，掌握指数函数的性质．选配的例题难易适中，具有典型性与代表性．练习由易到难，既能够巩固基础知识，又能够提高学生的解题技能．“拓展延伸”对本节中心内容进行了拓展，有用图像法求方程的解，推断方程根的个数；有函数图像的平移；还有应用题．这些都是数学中经常遇到的问题，它们的解决将有利于学生今后的学习．