广东省中考数学测试试卷
一．选择题（共10小题） 1．下列计算正确的是（ ） A．（x2）3＝x5 2．与A．
B．（x3）5＝x15
C．x4•x5＝x20
D．﹣（﹣x3）2＝x6
是同类二次根式的是（ ）
B．
C．
D．
3．如图所示的几何体是由3个大小完全一样的正方体组成，则从左面看这个几何体得到的平面图形是（ ）
A． B． C． D．
4．据统计，2019年醴陵高铁站年客运进出量约为237000人次．将237000用科学记数法表示为（ ） A．23.7×104
B．2.37×105
C．2.37×106
D．23.7×105
5．为了建设“书香校园”，某班开展捐书活动班长将本班44名学生捐书情况统计如下：
捐书本数 捐书人数
2 2
3 5
4 12
5 21
8 3
10 1
该组数据捐书本数的众数和中位数分别为（ ） A．5，5
B．21，8
C．10，4.5
D．5，4.5
6．若x＞y，则下列式子错误的是（ ） A．x﹣3＞y﹣3
B．＞
C．﹣2x＜﹣2y
D．3﹣x＞3﹣y
7．不等式2（x﹣2）≤x﹣1的非负整数解的个数为（ ） A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
8．如图，在△ABC中，DE∥BC，AD＝8，DB＝4，AE＝6，则EC的长为（ ）
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A．1
B．2
C．3
D．4
9．如图，在菱形ABCD中，AE，AF分别垂直平分BC，CD，垂足分别为E，F，则∠EAF的度数是（ ）
A．90°
B．60°
C．45°
D．30°
10．如图，由六个边长为1的小正方形组成的网格图中，△ABC的各个顶点都在格点上，则sin∠BAC的值是（ ）
A．2
B．
C．
D．
二．填空题（共7小题）
11．扇形的半径为6cm，面积为2πcm2，则此扇形的圆心角为 ． 12．分解因式：9m2﹣n2＝ ．
13．如图，在正方形网格中，∠1+∠2+∠3＝ ．
14．已知am＝22，bm＝4，则（a2b）m＝ ． 15．已知
+|b﹣1|＝0，则a+1＝ ．
16．如图，在△ABC中，∠B＝60°，∠BAC与∠BCA的三等分线分别交于点D、E两点，则∠ADC的度数是 ．
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17．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＜BC，∠ABC＝90°，且AB＝3，点E是边AB上的动点，当△ADE，△BCE，△CDE两两相似时，则AE＝ ．
三．解答题（共8小题）
18．计算：3tan30°﹣2sin60°+cos245°． 19．先化简，再求值：
÷
+3，其中x＝﹣3．
20．老师布置了一道题目，过直线l外一点P作直线l的垂线．（尺规作图）小明同学的作
法如下
①在直线l上任取两点A、B；
②以A为圆心，AP长为半径画弧，以B为圆心， BP长为半径画弧，两弧交于点Q，如图所示； ③作直线PQ．
则直线PQ就是所要作的图形．
（1）请你用另一种作法完成这道题；（保留作图痕迹，不写作法）
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（2）请你选择其中的一种作法加以证明．
21．一个不透明的口袋中有4个大小、质地完全相同的乒乓球，球面上分别标有数﹣1，2，﹣3，4．
（1）摇匀后任意摸出1个球，则摸出的乒乓球球面上的数是负数的概率为 ． （2）摇匀后先从中任意摸出1个球（不放回），再从余下的3个球中任意摸出1个球，用列表或画树状图的方法求两次摸出的乒乓球球面上的数之和是正数的概率． 22．如图，矩形ABCD中，AB＞AD，把矩形沿对角线AC所在直线折叠，使点B落在点E处，AE交CD于点F，连接DE． （1）求证：△ADE≌△CED； （2）求证：△DEF是等腰三角形．
23．某剧院举办文艺演出．经调研，如果票价定为每张30元，那么1200张门票可以全部售出：如果票价毎增加1元，那么售出的门票就减少30张．
（1）设每张票价增加x元，则现在可售出门票的张数为 ；（用含有x的代数式表示）
（2）要使的门票收入达到36750元，票价应定为多少元？
24．如图，已知顶点为C（0，﹣3）的抛物线y＝ax2+b（a≠0）与x轴交于A，B两点，直线y＝x+m过顶点C和点B． （1）求m的值；
（2）求函数y＝ax2+b（a≠0）的解析式；
（3）抛物线上是否存在点M，使得∠MCB＝15°？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
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25．如图，在平面直角坐标系中，O为原点，四边形ABCO是矩形，点A，C的坐标分别是A（0，2）和C（2
，0），点D是对角线AC上一动点（不与A，C重合），连结BD，
作DE⊥DB，交x轴于点E，以线段DE，DB为邻边作矩形BDEF． （1）填空：点B的坐标为 ；
（2）是否存在这样的点D，使得△DEC是等腰三角形？若存在，请求出AD的长度；若不存在，请说明理由； （3）①求证：
＝
；
②设AD＝x，矩形BDEF的面积为y，求y关于x的函数关系式（可利用①的结论），并求出y的最小值．
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参与试题解析
一．选择题（共10小题） 1．下列计算正确的是（ ） A．（x2）3＝x5
B．（x3）5＝x15
C．x4•x5＝x20
D．﹣（﹣x3）2＝x6
【分析】选项A与选项B根据幂的乘方运算法则判断；选项C根据同底数幂的乘法法则判断；选项D根据积的乘方运算法则判断． 【解答】解：A．x2）3＝x6，故本选项不合题意； B．（x3）5＝x15，正确，故本选项符合题意； C．x4•x5＝x9，故本选项不合题意；
D．﹣（﹣x3）2＝﹣x6，故本选项不合题意． 故选：B． 2．与A．
是同类二次根式的是（ ）
B．
C．
D．
【分析】根据同类二次根式的定义进行解答． 【解答】解：A、原式＝3
的被开方数是2． ，其被开方数是3，与
的被开方数不同，它们不是同类二次根式，故本
选项不符合题意．
B、该二次根式的被开方数是6，与选项不符合题意． C、原式＝
，其被开方数是3，与
的被开方数不同，它们不是同类二次根式，故本的被开方数不同，它们不是同类二次根式，故本
选项不符合题意． D、原式＝2
，其被开方数是2，与
的被开方数相同，它们是同类二次根式，故本
选项符合题意． 故选：D．
3．如图所示的几何体是由3个大小完全一样的正方体组成，则从左面看这个几何体得到的平面图形是（ ）
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A． B． C． D．
【分析】从左面看得只有一列，据此判断即可． 【解答】解：从左面看这个几何体只有一列， 故选：C．
4．据统计，2019年醴陵高铁站年客运进出量约为237000人次．将237000用科学记数法表示为（ ） A．23.7×104
B．2.37×105
C．2.37×106
D．23.7×105
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是非负数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【解答】解：237000＝2.37×105， 故选：B．
5．为了建设“书香校园”，某班开展捐书活动班长将本班44名学生捐书情况统计如下：
捐书本数 捐书人数
2 2
3 5
4 12
5 21
8 3
10 1
该组数据捐书本数的众数和中位数分别为（ ） A．5，5
B．21，8
C．10，4.5
D．5，4.5
【分析】中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数，众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个． 【解答】解：由表可知，5出现次数最多，所以众数为5； 由于一共调查了44人，
所以中位数为排序后的第22和第23个数的平均数，即：5． 故选：A．
6．若x＞y，则下列式子错误的是（ ）
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A．x﹣3＞y﹣3 B．＞ C．﹣2x＜﹣2y D．3﹣x＞3﹣y
【分析】利用不等式的性质，即可解答．
【解答】解：A、x＞y，根据不等式的基本性质：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变，x﹣3＞y﹣3，正确，不符合题意； B、不等式两边乘（或除以）同一个数，不等号的方向不改变，故题意；
C、x＞y，根据不等式的基本性质：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，故﹣2x＜﹣2y，正确，不符合题意；
D、不等式两边同时乘以﹣1，再加上3，不等号的方向改变，故3﹣x＞3﹣y，错误，符合题意； 故选：D．
7．不等式2（x﹣2）≤x﹣1的非负整数解的个数为（ ） A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
，正确，不符合
【分析】先解出不等式，然后根据x的范围求出x的值． 【解答】解：2x﹣4≤x﹣1 x≤3
∵x是非负整数， ∴x＝0，1，2，3 故选：D．
8．如图，在△ABC中，DE∥BC，AD＝8，DB＝4，AE＝6，则EC的长为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【分析】根据本题平行线分线段成比例定理列出比例式，代入计算得到答案． 【解答】解：∵DE∥BC， ∴
＝
，即＝
，
解得，EC＝3，
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故选：C．
9．如图，在菱形ABCD中，AE，AF分别垂直平分BC，CD，垂足分别为E，F，则∠EAF的度数是（ ）
A．90°
B．60°
C．45°
D．30°
【分析】根据垂直平分线的性质可得出△ABC、△ACD是等边三角形，从而先求得∠B＝60°，∠C＝120°，在四边形AECF中，利用四边形的内角和为360°可求出∠EAF的度数．
【解答】解：连接AC，
∵AE垂直平分边BC， ∴AB＝AC，
又∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝BC， ∴AB＝AC＝BC， ∴△ABC是等边三角形， ∴∠B＝60°， ∴∠BCD＝120°， 又∵AF垂直平分边CD，
∴在四边形AECF中，∠EAF＝360°﹣180°﹣120°＝60°． 故选：B．
10．如图，由六个边长为1的小正方形组成的网格图中，△ABC的各个顶点都在格点上，则sin∠BAC的值是（ ）
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A．2
B．
C．
D．
【分析】由勾股定理和勾股定理的逆定理证出△ABC是直角三角形，由三角函数定义即可得出答案．
【解答】解：由勾股定理得：AB2＝22+22＝8，BC2＝12+12＝2，AC2＝32+12＝10， ∴AB2+BC2＝AC2，
∴△ABC是直角三角形，∠ABC＝90°， ∴sin∠BAC＝故选：D．
二．填空题（共7小题）
11．扇形的半径为6cm，面积为2πcm2，则此扇形的圆心角为 120° ．
【分析】设扇形的圆心角是n°，根据扇形的面积公式即可得到一个关于n的方程，解方程即可求解．
【解答】解：设扇形的圆心角是n°，根据扇形的面积公式得 2π＝解得n＝120 故答案为：120°
12．分解因式：9m2﹣n2＝ （3m+n）（3m﹣n） ． 【分析】直接利用平方差进行分解即可．
【解答】解：原式＝（3m）2﹣n2＝（3m+n）（3m﹣n）， 故答案为：（3m+n）（3m﹣n）．
13．如图，在正方形网格中，∠1+∠2+∠3＝ 135° ．
， ＝
＝
；
【分析】根据图形可得AB＝AD，BC＝DE，∠B＝∠D，∠2＝45°，然后判定△ABC≌
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△ADE，进而可得∠4＝∠3，由∠1+∠4＝90°可得∠3+∠1＝90°，进而可得答案． 【解答】解：∵在△ABC和△ADE中∴△ABC≌△ADE（SAS）， ∴∠4＝∠3， ∵∠1+∠4＝90°， ∴∠3+∠1＝90°， ∵∠2＝45°，
∴∠1+∠2+∠3＝135°， 故答案为：135°．
，
14．已知am＝22，bm＝4，则（a2b）m＝ ． 【分析】根据幂的乘方与积的乘方运算法则解答即可． 【解答】解：∵am＝22＝4，bm＝4， ∴（a2b）m ＝a2m•bm ＝（am）2•bm ＝42×4 ＝16×4 ＝． 故答案为：． 15．已知
+|b﹣1|＝0，则a+1＝ 2 ．
【分析】直接利用非负数的性质结合绝对值的性质得出a，b的值进而得出答案． 【解答】解：∵
+|b﹣1|＝0，
∴b﹣1＝0，a﹣b＝0， 解得：b＝1，a＝1， 故a+1＝2．
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故答案为：2．
16．如图，在△ABC中，∠B＝60°，∠BAC与∠BCA的三等分线分别交于点D、E两点，则∠ADC的度数是 100° ．
【分析】在△ABC中，利用三角形内角和定理可求出∠BAC+∠BCA＝120°，结合角平分线定义可求出∠DAC+∠DCA＝80°，再在△ADC中利用三角形内角和定理可求出∠ADC的度数．
【解答】解：∵在△ABC中，∠B＝60°， ∴∠BAC+∠BCA＝180°﹣∠B＝120°．
∵∠BAC与∠BCA的三等分线分别交于点D、E两点， ∴∠DAC＝∠BAC，∠DCA＝∠BCA， ∴∠DAC+∠DCA＝（∠BAC+∠BCA）＝80°，
∴∠ADC＝180°﹣（∠DAC+∠DCA）＝180°﹣80°＝100°． 故答案为：100°．
17．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＜BC，∠ABC＝90°，且AB＝3，点E是边AB上的动点，当△ADE，△BCE，△CDE两两相似时，则AE＝
或1 ．
【分析】分情况讨论：∠CED＝90°和∠CDE＝90°，利用角平分线的性质和直角三角形30度角的性质分别可得AE的长．
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【解答】解：分两种情况： ①当∠CED＝90°时，如图1， 过E作EF⊥CD于F，
∵AD∥BC，AD＜BC， ∴AB与CD不平行，
∴当△ADE、△BCE、△CDE两两相似时， ∴∠BEC＝∠CDE＝∠ADE， ∵∠A＝∠B＝∠CED＝90°， ∴∠BCE＝∠DCE， ∴AE＝EF，EF＝BE， ∴AE＝BE＝AB＝， ②当∠CDE＝90°时，如图2，
∵当△ADE、△BCE、△CDE两两相似时， ∴∠CEB＝∠CED＝∠AED＝60°， ∴∠BCE＝∠DCE＝30°， ∵∠A＝∠B＝90°， ∴BE＝ED＝2AE， ∵AB＝3， ∴AE＝1，
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综上，AE的值为或1． 故答案为：或1． 三．解答题（共8小题）
18．计算：3tan30°﹣2sin60°+cos245°． 【分析】把特殊角的三角函数值代入求值即可． 【解答】解：3tan30°﹣2sin60°+cos245° ＝3×＝
﹣
﹣2×+
+（
）2
＝．
19．先化简，再求值：÷+3，其中x＝﹣3．
【分析】首先把分式的除法变为分式的乘法，再约分化简后代入x的值即可． 【解答】解：原式＝＝x+3．
当x＝﹣3时，原式＝﹣3+3＝0．
20．老师布置了一道题目，过直线l外一点P作直线l的垂线．（尺规作图）小明同学的作
•
+3，
法如下
①在直线l上任取两点A、B；
②以A为圆心，AP长为半径画弧，以B为圆心， BP长为半径画弧，两弧交于点Q，如图所示； ③作直线PQ．
则直线PQ就是所要作的图形．
（1）请你用另一种作法完成这道题；（保留作图痕迹，不写作法）
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（2）请你选择其中的一种作法加以证明．
【分析】（1）在直线l上取点E，以PE为半径，E点为圆心画弧交直线l于F，然后作EF的垂直平分线即可；
（2）对小明的作法进行证明，由作法得AP＝AQ，BP＝BQ，然后根据线段垂直平分线的性质定理的逆定理可判断直线AB垂直平分PQ． 【解答】解：（1）如图，PM为所作；
（2）对小明的作法进行证明： 由作法得AP＝AQ，BP＝BQ，
∴点A在PQ的垂直平分线上．点B在PQ的垂直平分线上， ∴直线AB垂直平分PQ， ∴直线PQ就是直线l的垂线．
21．一个不透明的口袋中有4个大小、质地完全相同的乒乓球，球面上分别标有数﹣1，2，﹣3，4．
（1）摇匀后任意摸出1个球，则摸出的乒乓球球面上的数是负数的概率为
．
（2）摇匀后先从中任意摸出1个球（不放回），再从余下的3个球中任意摸出1个球，用列表或画树状图的方法求两次摸出的乒乓球球面上的数之和是正数的概率． 【分析】（1）直接利用概率公式计算；
（2）画树状图展示所有12种等可能的结果数，找出两次摸出的乒乓球球面上的数之和是正数的结果数，然后根据公式求解．
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【解答】解：（1）摇匀后任意摸出1个球，则摸出的乒乓球球面上的数是负数的概率＝＝； 故答案为； （2）画树状图为：
共有12种等可能的结果数，其中两次摸出的乒乓球球面上的数之和是正数的结果数为8， 所以两次摸出的乒乓球球面上的数之和是正数的概率＝
＝．
22．如图，矩形ABCD中，AB＞AD，把矩形沿对角线AC所在直线折叠，使点B落在点E处，AE交CD于点F，连接DE． （1）求证：△ADE≌△CED； （2）求证：△DEF是等腰三角形．
【分析】（1）根据矩形的性质可得出AD＝BC、AB＝CD，结合折叠的性质可得出AD＝CE、AE＝CD，进而即可证出△ADE≌△CED（SSS）；
（2）根据全等三角形的性质可得出∠DEF＝∠EDF，利用等边对等角可得出EF＝DF，由此即可证出△DEF是等腰三角形． 【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是矩形， ∴AD＝BC，AB＝CD．
由折叠的性质可得：BC＝CE，AB＝AE， ∴AD＝CE，AE＝CD． 在△ADE和△CED中，∴△ADE≌△CED（SSS）． （2）由（1）得△ADE≌△CED，
，
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∴∠DEA＝∠EDC，即∠DEF＝∠EDF， ∴EF＝DF，
∴△DEF是等腰三角形．
23．某剧院举办文艺演出．经调研，如果票价定为每张30元，那么1200张门票可以全部售出：如果票价毎增加1元，那么售出的门票就减少30张．
（1）设每张票价增加x元，则现在可售出门票的张数为 （1200﹣30x） ；（用含有x的代数式表示）
（2）要使的门票收入达到36750元，票价应定为多少元？
【分析】（1）由票价毎增加1元则售出的门票就减少30张，即可得出当每张票价增加x元时可售出的门票张数；
（2）根据总价＝单价×数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再将其代入30+x中即可求出结论．
【解答】解：（1）可售出门票的张数为（1200﹣30x）张． 故答案为：（1200﹣30x）．
（2）依题意，得：（30+x）（1200﹣30x）＝36750， 整理，得：x2﹣10x+25＝0， 解得：x1＝x2＝5， ∴30+x＝35．
答：票价应定为35元．
24．如图，已知顶点为C（0，﹣3）的抛物线y＝ax2+b（a≠0）与x轴交于A，B两点，直线y＝x+m过顶点C和点B． （1）求m的值；
（2）求函数y＝ax2+b（a≠0）的解析式；
（3）抛物线上是否存在点M，使得∠MCB＝15°？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
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【分析】（1）把C（0，﹣3）代入直线y＝x+m中解答即可；
（2）把y＝0代入直线解析式得出点B的坐标，再利用待定系数法确定函数关系式即可； （3）分M在BC上方和下方两种情况进行解答即可． 【解答】解：（1）将（0，﹣3）代入y＝x+m， 可得：m＝﹣3；
（2）将y＝0代入y＝x﹣3得：x＝3， 所以点B的坐标为（3，0），
将（0，﹣3）、（3，0）代入y＝ax2+b中， 可得：
，
解得：，
所以二次函数的解析式为：y＝x2﹣3； （3）存在，分以下两种情况：
①若M在B上方，设MC交x轴于点D，则∠ODC＝45°+15°＝60°， ∴OD＝OC•tan30°＝
，
，0），可得：k＝
，
设DC为y＝kx﹣3，代入（
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联立两个方程可得：，
解得：所以M1（3
，6）；
，
②若M在B下方，设MC交x轴于点E，则∠OEC＝45°﹣15°＝30°， ∴∠OCE＝60°， ∴OE＝OC•tan60°＝3
，
，0）可得：k＝
，
设EC为y＝kx﹣3，代入（3
联立两个方程可得：，
解得：所以M2（
，﹣2），
，
综上所述M的坐标为（3，6）或（，﹣2）．
25．如图，在平面直角坐标系中，O为原点，四边形ABCO是矩形，点A，C的坐标分别是A（0，2）和C（2
，0），点D是对角线AC上一动点（不与A，C重合），连结BD，
作DE⊥DB，交x轴于点E，以线段DE，DB为邻边作矩形BDEF． （1）填空：点B的坐标为 （2，2） ；
（2）是否存在这样的点D，使得△DEC是等腰三角形？若存在，请求出AD的长度；若不存在，请说明理由； （3）①求证：
＝
；
②设AD＝x，矩形BDEF的面积为y，求y关于x的函数关系式（可利用①的结论），并求出y的最小值．
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【分析】（1）求出AB、BC的长即可解决问题；
（2）存在．先推出∠ACO＝30°，∠ACD＝60°由△DEC是等腰三角形，观察图象可知，只有ED＝EC，∠DCE＝∠EDC＝30°，推出∠DBC＝∠BCD＝60°，可得△DBC是等边三角形，推出DC＝BC＝2，由此即可解决问题；
（3）①先表示出DN，BM，再判断出△BMD∽△DNE，即可得出结论；
②作DH⊥AB于H．想办法用x表示BD、DE的长，构建二次函数即可解决问题； 【解答】解：（1）∵四边形AOCB是矩形， ∴BC＝OA＝2，OC＝AB＝2∴B（2
，2）．
，2）．
，∠BCO＝∠BAO＝90°，
故答案为（2
（2）存在．理由如下： ∵OA＝2，OC＝2∵tan∠ACO＝
＝， ，
∴∠ACO＝30°，∠ACB＝60°
①如图1中，当E在线段CO上时，△DEC是等腰三角形，观察图象可知，只有ED＝EC，
∴∠DCE＝∠EDC＝30°， ∴∠DBC＝∠BCD＝60°， ∴△DBC是等边三角形， ∴DC＝BC＝2，
在Rt△AOC中，∵∠ACO＝30°，OA＝2， ∴AC＝2AO＝4，
∴AD＝AC﹣CD＝4﹣2＝2．
∴当AD＝2时，△DEC是等腰三角形．
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②如图2中，当E在OC的延长线上时，△DCE是等腰三角形，只有CD＝CE，∠DBC＝∠DEC＝∠CDE＝15°， ∴∠ABD＝∠ADB＝75°， ∴AB＝AD＝2
，
．
综上所述，满足条件的AD的值为2或2
（3）①如图1，
过点D作MN⊥AB交AB于M，交OC于N， ∵A（0，2）和C（2
，0），
x+2，
∴直线AC的解析式为y＝﹣设D（a，﹣∴DN＝﹣
a+2）， a+2，BM＝2
﹣a
∵∠BDE＝90°，
∴∠BDM+∠NDE＝90°，∠BDM+∠DBM＝90°， ∴∠DBM＝∠EDN，∵∠BMD＝∠DNE＝90°， ∴△BMD∽△DNE，
∴
＝＝．
②如图2中，作DH⊥AB于H．
在Rt△ADH中，∵AD＝x，∠DAH＝∠ACO＝30°， ∴DH＝AD＝x，AH＝∴BH＝2
﹣
x，
＝
x，
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在Rt△BDH中，BD＝∴DE＝
BD＝
•
[
＝
，
]2＝
，
∴矩形BDEF的面积为y＝即y＝∴y＝∵
x2﹣2
x+4
， ，
（x2﹣6x+12），
（x﹣3）2+＞0，
∴x＝3时，y有最小值．
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